3x(x+1)-(x-2)^2/2=(x+1)(x-1)+15 megoldása

$$3 x ( x + 1 ) - \frac { ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 15$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5,333333333$$

$$x=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 6x és x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-2\right)^{2}).

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

x^{2}-4x+4 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Összevonjuk a következőket: 6x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 4x. Az eredmény 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x+2 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Összeadjuk a következőket: -2 és 30. Az eredmény 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Összevonjuk a következőket: 5x^{2} és -2x^{2}. Az eredmény 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 28.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Kivonjuk a(z) 28 értékből a(z) -4 értéket. Az eredmény -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-32 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=10 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=-6 b=16$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}+10x-32) \left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 16 faktort.

$$3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-2\right)\left(3x+16\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-2=0 és a 3x+16=0.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 6x és x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-2\right)^{2}).

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

x^{2}-4x+4 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Összevonjuk a következőket: 6x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 4x. Az eredmény 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x+2 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Összeadjuk a következőket: -2 és 30. Az eredmény 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Összevonjuk a következőket: 5x^{2} és -2x^{2}. Az eredmény 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 28.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

Kivonjuk a(z) 28 értékből a(z) -4 értéket. Az eredmény -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -32 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -32.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+384}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 384.

$$x=\frac{-10±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 484.

$$x=\frac{-10±22}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-10±22}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±22}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 22.

$$x=\frac{12}{6}$$

12 elosztása a következővel: 6.

$$x=2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-10±22}{6}). ± előjele negatív. 22 kivonása a következőből: -10.

$$x=-\frac{32}{6}$$

A törtet (\frac{-32}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{16}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 6x és x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(x-2\right)^{2}).

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

x^{2}-4x+4 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Összevonjuk a következőket: 6x^{2} és -x^{2}. Az eredmény 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Összevonjuk a következőket: 6x és 4x. Az eredmény 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 2 és x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (2x+2 és x-1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Összeadjuk a következőket: -2 és 30. Az eredmény 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 2x^{2}.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Összevonjuk a következőket: 5x^{2} és -2x^{2}. Az eredmény 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 4.

$$3x^{2}+10x=28+4$$

Összeadjuk a következőket: 28 és 4. Az eredmény 32.

$$3x^{2}+10x=32$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{32}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{32}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{10}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{32}{3}+\frac{25}{9}$$

\frac{32}{3} és \frac{25}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{121}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{3}.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$