3x^2-8x-1=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2,786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0,119632981$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 76.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

-8 ellentettje 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

8+2\sqrt{19} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}). ± előjele negatív. 2\sqrt{19} kivonása a következőből: 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

8-2\sqrt{19} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

\frac{1}{3} és \frac{16}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$