3x^2-32x+84=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx+84 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -32.

$$a=-18 b=-14$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}-32x+84) \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és -14 faktort.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-6=0 és a 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -32 értéket b-be és a(z) 84 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 1024 és -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

-32 ellentettje 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{32±4}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 32 és 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

36 elosztása a következővel: 6.

$$x=6$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{32±4}{6}). ± előjele negatív. 4 kivonása a következőből: 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

A törtet (\frac{28}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{14}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 84.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Ha kivonjuk a(z) 84 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

-84 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Elosztjuk a(z) -\frac{32}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{16}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{16}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{16}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Összeadjuk a következőket: -28 és \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{16}{3}.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$