3x^2-20x+1=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -20 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 400 és -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

-20 ellentettje 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 20 és 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

20+2\sqrt{97} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}). ± előjele negatív. 2\sqrt{97} kivonása a következőből: 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

20-2\sqrt{97} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{20}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{10}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{10}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{10}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

-\frac{1}{3} és \frac{100}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{10}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$