3x^2-2x-1=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-1 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Az egyetlen ilyen pár a rendszermegoldás.

$$a=-3 b=1$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}-2x-1) \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Emelje ki a(z) 3x elemet a(z) 3x^{2}-3x kifejezésből.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±4}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 elosztása a következővel: 6.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±4}{6}). ± előjele negatív. 4 kivonása a következőből: 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

A törtet (\frac{-2}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 1.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

-1 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

\frac{1}{3} és \frac{1}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$