3x^2-2x+4=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0,333333333+1,105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,105541597i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -44.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

2+2i\sqrt{11} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{11} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

2-2i\sqrt{11} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

Ha kivonjuk a(z) 4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-2x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

-\frac{4}{3} és \frac{1}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$