3x^2-196x+1225=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } - 196 x + 1225 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=7$$

$$x = \frac{175}{3} = 58\frac{1}{3} \approx 58,333333333$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-196x+1225=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -196 értéket b-be és a(z) 1225 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-196\right)±\sqrt{\left(-196\right)^{2}-4\times 3\times 1225}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -196.

$$x=\frac{-\left(-196\right)±\sqrt{38416-4\times 3\times 1225}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-196\right)±\sqrt{38416-12\times 1225}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 1225.

$$x=\frac{-\left(-196\right)±\sqrt{38416-14700}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 38416 és -14700.

$$x=\frac{-\left(-196\right)±\sqrt{23716}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 23716.

$$x=\frac{-\left(-196\right)±154}{2\times 3}$$

-196 ellentettje 196.

$$x=\frac{196±154}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{196±154}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{196±154}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 196 és 154.

$$x=\frac{350}{6}$$

A törtet (\frac{350}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{175}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{196±154}{6}). ± előjele negatív. 154 kivonása a következőből: 196.

$$x=\frac{42}{6}$$

42 elosztása a következővel: 6.

$$x=7$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{175}{3} x=7$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-196x+1225=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1225.

$$3x^{2}-196x+1225-1225=-1225$$

Ha kivonjuk a(z) 1225 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-196x=-1225$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-196x}{3}=-\frac{1225}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{196}{3}x=-\frac{1225}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{196}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{98}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{98}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{196}{3}x+\left(-\frac{98}{3}\right)^{2}=-\frac{1225}{3}+\left(-\frac{98}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{98}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{196}{3}x+\frac{9604}{9}=-\frac{1225}{3}+\frac{9604}{9}$$

-\frac{1225}{3} és \frac{9604}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{196}{3}x+\frac{9604}{9}=\frac{5929}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{196}{3}x+\frac{9604}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{98}{3}\right)^{2}=\frac{5929}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{98}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5929}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{98}{3}=\frac{77}{3} x-\frac{98}{3}=-\frac{77}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{98}{3}.

$$x=\frac{175}{3} x=7$$