3x^2-19x+3=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } - 19 x + 3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{5 \sqrt{13} + 19}{6} \approx 6,17129273$$

$$x=\frac{19-5\sqrt{13}}{6}\approx 0,162040604$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-19x+3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -19 értéket b-be és a(z) 3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 3}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 361 és -36.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{325}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 325.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±5\sqrt{13}}{2\times 3}$$

-19 ellentettje 19.

$$x=\frac{19±5\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{19±5\sqrt{13}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{19±5\sqrt{13}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 19 és 5\sqrt{13}.

$$x=\frac{5\sqrt{13}+19}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{19±5\sqrt{13}}{6}). ± előjele negatív. 5\sqrt{13} kivonása a következőből: 19.

$$x=\frac{19-5\sqrt{13}}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5\sqrt{13}+19}{6} x=\frac{19-5\sqrt{13}}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-19x+3=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 3.

$$3x^{2}-19x+3-3=-3$$

Ha kivonjuk a(z) 3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-19x=-3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-19x}{3}=-\frac{3}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=-\frac{3}{3}$$

-3 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x=-1$$

Elosztjuk a(z) -\frac{19}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{19}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{19}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{19}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=-1+\frac{361}{36}$$

Összeadjuk a következőket: -1 és \frac{361}{36}.

$$x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}=\frac{325}{36}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{19}{3}x+\frac{361}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{325}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{325}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{19}{6}=\frac{5\sqrt{13}}{6} x-\frac{19}{6}=-\frac{5\sqrt{13}}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{19}{6}.

$$x=\frac{5\sqrt{13}+19}{6} x=\frac{19-5\sqrt{13}}{6}$$