3x^2-10x=48 megoldása

$$3 x ^ { 2 } - 10 x = 48$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x=6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 48.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-48 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-10 ab=3\left(-48\right)=-144$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -10.

$$a=-18 b=8$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}-10x-48) \left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(8x-48\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 8 faktort.

$$3x\left(x-6\right)+8\left(x-6\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-6\right)\left(3x+8\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-6=0 és a 3x+8=0.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-10x=48$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 48.

$$3x^{2}-10x-48=48-48$$

Ha kivonjuk a(z) 48 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-10x-48=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) -48 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-48\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -48.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+576}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 576.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 676.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±26}{2\times 3}$$

-10 ellentettje 10.

$$x=\frac{10±26}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{10±26}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±26}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 10 és 26.

$$x=\frac{36}{6}$$

36 elosztása a következővel: 6.

$$x=6$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±26}{6}). ± előjele negatív. 26 kivonása a következőből: 10.

$$x=-\frac{16}{6}$$

A törtet (\frac{-16}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-10x=48$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{48}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{48}{3}$$

48 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=16$$

Elosztjuk a(z) -\frac{10}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=16+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=16+\frac{25}{9}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és \frac{25}{9}.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{169}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{13}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{3}.

$$x=6 x=-\frac{8}{3}$$