3x^2+x-5=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + x - 5 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{61} - 1}{6} \approx 1,135041613$$

$$x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}\approx -1,468374946$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 1 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+60}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és 60.

$$x=\frac{-1±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{61}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{61}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -1 és \sqrt{61}.

$$x=\frac{\sqrt{61}-1}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-1±\sqrt{61}}{6}). ± előjele negatív. \sqrt{61} kivonása a következőből: -1.

$$x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{61}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+x-5=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$3x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+x=-\left(-5\right)$$

-5 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}+x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{5}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{5}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{1}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{5}{3}+\frac{1}{36}$$

\frac{5}{3} és \frac{1}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{61}{36}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{6}.

$$x=\frac{\sqrt{61}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{61}-1}{6}$$