3x^2+9x-30=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-5$$

$$x=2$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-10 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -10.

$$-1,10 -2,5$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 3.

$$a=-2 b=5$$

Átírjuk az értéket (x^{2}+3x-10) \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right) alakban.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Kiemeljük a(z) x tényezőt az első, a(z) 5 tényezőt pedig a második csoportban.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-2=0 és x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 9 értéket b-be és a(z) -30 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 441.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-9±21}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -9 és 21.

$$x=\frac{12}{6}$$

12 elosztása a következővel: 6.

$$x=2$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-9±21}{6}). ± előjele negatív. 21 kivonása a következőből: -9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

-30 elosztása a következővel: 6.

$$x=-5$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=2 x=-5$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 30.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -30 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

-30 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}+9x=30$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

9 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

30 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+3x=10$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 10 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

A(z) x^{2}+3x+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=2 x=-5$$