3x^2+9x+4=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 4 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}\approx -0.542572892$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}\approx -2.457427108$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+9x+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 9 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 4}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-48}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és -48.

$$x=\frac{-9±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -9 és \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}-9}{6}$$

-9+\sqrt{33} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6}). ± előjele negatív. \sqrt{33} kivonása a következőből: -9.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-9}{6}$$

-9-\sqrt{33} elosztása a következővel: 6.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+9x+4=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 4.

$$3x^{2}+9x+4-4=-4$$

Ha kivonjuk a(z) 4 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+9x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{4}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{4}{3}$$

9 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{4}{3}$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{4}{3}+\frac{9}{4}$$

-\frac{4}{3} és \frac{9}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{11}{12}$$

A(z) x^{2}+3x+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$