3x^2+7x=5 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 7 x = 5$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6}\approx 0,573384418$$

$$x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}\approx -2,906717751$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+7x=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$3x^{2}+7x-5=5-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+7x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 7 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+60}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 60.

$$x=\frac{-7±\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{109}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±\sqrt{109}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -7 és \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-7±\sqrt{109}}{6}). ± előjele negatív. \sqrt{109} kivonása a következőből: -7.

$$x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+7x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+7x}{3}=\frac{5}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=\frac{5}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{7}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

\frac{5}{3} és \frac{49}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{109}{36}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{109}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{109}}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{109}}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{6}.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$