3x^2+4x-7=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 7 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-7 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -21.

$$-1,21 -3,7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 4.

$$a=-3 b=7$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}+4x-7) \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 7 faktort.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-1=0 és a 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 4 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±10}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -4 és 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 elosztása a következővel: 6.

$$x=1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-4±10}{6}). ± előjele negatív. 10 kivonása a következőből: -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

A törtet (\frac{-14}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$3x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

-7 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}+4x=7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{4}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{2}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{2}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{2}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

\frac{7}{3} és \frac{4}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{2}{3}.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$