3x^2+25x=125 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 25 x = 125$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{5 \sqrt{85} - 25}{6} \approx 3,516287048$$

$$x=\frac{-5\sqrt{85}-25}{6}\approx -11,849620381$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+25x=125$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 125.

$$3x^{2}+25x-125=125-125$$

Ha kivonjuk a(z) 125 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+25x-125=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 25 értéket b-be és a(z) -125 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 3\left(-125\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 3\left(-125\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-12\left(-125\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -125.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+1500}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 625 és 1500.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2125}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2125.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{85}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-25±5\sqrt{85}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -25 és 5\sqrt{85}.

$$x=\frac{5\sqrt{85}-25}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-25±5\sqrt{85}}{6}). ± előjele negatív. 5\sqrt{85} kivonása a következőből: -25.

$$x=\frac{-5\sqrt{85}-25}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{5\sqrt{85}-25}{6} x=\frac{-5\sqrt{85}-25}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+25x=125$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+25x}{3}=\frac{125}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x=\frac{125}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{25}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{25}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{25}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x+\left(\frac{25}{6}\right)^{2}=\frac{125}{3}+\left(\frac{25}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{25}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x+\frac{625}{36}=\frac{125}{3}+\frac{625}{36}$$

\frac{125}{3} és \frac{625}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{25}{3}x+\frac{625}{36}=\frac{2125}{36}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{25}{3}x+\frac{625}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{25}{6}\right)^{2}=\frac{2125}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2125}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{25}{6}=\frac{5\sqrt{85}}{6} x+\frac{25}{6}=-\frac{5\sqrt{85}}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{25}{6}.

$$x=\frac{5\sqrt{85}-25}{6} x=\frac{-5\sqrt{85}-25}{6}$$