3x^2+2x-5>0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 2 x - 5 > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,-\frac{5}{3}\right)\cup \left(1,\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$3x^{2}+2x-5=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{-2±8}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±8}{6}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$3\left(x-1\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x-1 és x+\frac{5}{3}) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x-1 és x+\frac{5}{3} eredménye egyaránt negatív.

$$x-1<0 x+\frac{5}{3}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<-\frac{5}{3}.

$$x<-\frac{5}{3}$$

Tegyük fel, hogy x-1 és x+\frac{5}{3} eredménye egyaránt pozitív.

$$x+\frac{5}{3}>0 x-1>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>1.

$$x>1$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<-\frac{5}{3}\text{; }x>1$$