3x^2+2x+5=18 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 5 = 18$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{2 \sqrt{10} - 1}{3} \approx 1,774851773$$

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}\approx -2,44151844$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 18.

$$3x^{2}+2x+5-18=18-18$$

Ha kivonjuk a(z) 18 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+2x+5-18=0$$

18 kivonása a következőből: 5.

$$3x^{2}+2x-13=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -13 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -13.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+156}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 156.

$$x=\frac{-2±\sqrt{160}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 160.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}-2}{6}$$

-2+4\sqrt{10} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}). ± előjele negatív. 4\sqrt{10} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}-2}{6}$$

-2-4\sqrt{10} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$3x^{2}+2x+5-5=18-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+2x=18-5$$

5 kivonása a következőből: 18.

$$3x^{2}+2x=13$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{13}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{13}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{13}{3}+\frac{1}{9}$$

\frac{13}{3} és \frac{1}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{40}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{40}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$