3x^2+2x+1=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

-2+2i\sqrt{2} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}). ± előjele negatív. 2i\sqrt{2} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

-2-2i\sqrt{2} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 1.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Ha kivonjuk a(z) 1 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

-\frac{1}{3} és \frac{1}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$