3x^2+2-(5x-50)^2=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 2 - ( 5 x - 50 ) ^ { 2 } = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{1886} + 125}{11} \approx 15,311645591$$

$$x = \frac{125 - \sqrt{1886}}{11} \approx 7,415627136$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-50\right)^{2}).

$$3x^{2}+2-\left(25x^{2}-500x+2500\right)=0$$

25x^{2}-500x+2500 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$3x^{2}+2-25x^{2}+500x-2500=0$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és -25x^{2}. Az eredmény -22x^{2}.

$$-22x^{2}+2+500x-2500=0$$

Kivonjuk a(z) 2500 értékből a(z) 2 értéket. Az eredmény -2498.

$$-22x^{2}-2498+500x=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-22x^{2}+500x-2498=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -22 értéket a-ba, a(z) 500 értéket b-be és a(z) -2498 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-500±\sqrt{500^{2}-4\left(-22\right)\left(-2498\right)}}{2\left(-22\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 500.

$$x=\frac{-500±\sqrt{250000-4\left(-22\right)\left(-2498\right)}}{2\left(-22\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -22.

$$x=\frac{-500±\sqrt{250000+88\left(-2498\right)}}{2\left(-22\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 88 és -2498.

$$x=\frac{-500±\sqrt{250000-219824}}{2\left(-22\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 250000 és -219824.

$$x=\frac{-500±\sqrt{30176}}{2\left(-22\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 30176.

$$x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{2\left(-22\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -22.

$$x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{-44}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{-44}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -500 és 4\sqrt{1886}.

$$x=\frac{4\sqrt{1886}-500}{-44}$$

-500+4\sqrt{1886} elosztása a következővel: -44.

$$x=\frac{125-\sqrt{1886}}{11}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-500±4\sqrt{1886}}{-44}). ± előjele negatív. 4\sqrt{1886} kivonása a következőből: -500.

$$x=\frac{-4\sqrt{1886}-500}{-44}$$

-500-4\sqrt{1886} elosztása a következővel: -44.

$$x=\frac{\sqrt{1886}+125}{11}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{125-\sqrt{1886}}{11} x=\frac{\sqrt{1886}+125}{11}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Binomiális tétel (\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(5x-50\right)^{2}).

$$3x^{2}+2-\left(25x^{2}-500x+2500\right)=0$$

25x^{2}-500x+2500 ellentettjének meghatározásához megkeressük az egyes tagok ellentettjét.

$$3x^{2}+2-25x^{2}+500x-2500=0$$

Összevonjuk a következőket: 3x^{2} és -25x^{2}. Az eredmény -22x^{2}.

$$-22x^{2}+2+500x-2500=0$$

Kivonjuk a(z) 2500 értékből a(z) 2 értéket. Az eredmény -2498.

$$-22x^{2}-2498+500x=0$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 2498. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$-22x^{2}+500x=2498$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -22.

$$\frac{-22x^{2}+500x}{-22}=\frac{2498}{-22}$$

A(z) -22 értékkel való osztás eltünteti a(z) -22 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{500}{-22}x=\frac{2498}{-22}$$

A törtet (\frac{500}{-22}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x=\frac{2498}{-22}$$

A törtet (\frac{2498}{-22}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x=-\frac{1249}{11}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{250}{11} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{125}{11}. Ezután hozzáadjuk -\frac{125}{11} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x+\left(-\frac{125}{11}\right)^{2}=-\frac{1249}{11}+\left(-\frac{125}{11}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{125}{11} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x+\frac{15625}{121}=-\frac{1249}{11}+\frac{15625}{121}$$

-\frac{1249}{11} és \frac{15625}{121} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{250}{11}x+\frac{15625}{121}=\frac{1886}{121}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{250}{11}x+\frac{15625}{121}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{125}{11}\right)^{2}=\frac{1886}{121}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{125}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1886}{121}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{125}{11}=\frac{\sqrt{1886}}{11} x-\frac{125}{11}=-\frac{\sqrt{1886}}{11}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{125}{11}.

$$x=\frac{\sqrt{1886}+125}{11} x=\frac{125-\sqrt{1886}}{11}$$