3x^2+16x-5=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 5 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3}\approx 0,296064806$$

$$x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}\approx -5,629398139$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+16x-5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 16 értéket b-be és a(z) -5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -5.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+60}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 256 és 60.

$$x=\frac{-16±\sqrt{316}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 316.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -16 és 2\sqrt{79}.

$$x=\frac{2\sqrt{79}-16}{6}$$

-16+2\sqrt{79} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6}). ± előjele negatív. 2\sqrt{79} kivonása a következőből: -16.

$$x=\frac{-2\sqrt{79}-16}{6}$$

-16-2\sqrt{79} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3} x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+16x-5=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 5.

$$3x^{2}+16x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+16x=-\left(-5\right)$$

-5 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}+16x=5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{5}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{16}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{8}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{8}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{8}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{5}{3}+\frac{64}{9}$$

\frac{5}{3} és \frac{64}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{79}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{79}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{79}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{\sqrt{79}}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{\sqrt{79}}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{8}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3} x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$