3x^2+16x-12=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-12 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 16.

$$a=-2 b=18$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}+16x-12) \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 6 faktort.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x-2=0 és a x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 16 értéket b-be és a(z) -12 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 256 és 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±20}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -16 és 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

A törtet (\frac{4}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{2}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-16±20}{6}). ± előjele negatív. 20 kivonása a következőből: -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

-36 elosztása a következővel: 6.

$$x=-6$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 12.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -12 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

-12 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

12 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Elosztjuk a(z) \frac{16}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{8}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{8}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{8}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{8}{3}.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$