3x^2+15x-12=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 15 x - 12 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}\approx 0,701562119$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}\approx -5,701562119$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+15x-12=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 15 értéket b-be és a(z) -12 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 15.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -12.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+144}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 225 és 144.

$$x=\frac{-15±\sqrt{369}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 369.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -15 és 3\sqrt{41}.

$$x=\frac{3\sqrt{41}-15}{6}$$

-15+3\sqrt{41} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6}). ± előjele negatív. 3\sqrt{41} kivonása a következőből: -15.

$$x=\frac{-3\sqrt{41}-15}{6}$$

-15-3\sqrt{41} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+15x-12=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 12.

$$3x^{2}+15x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -12 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+15x=-\left(-12\right)$$

-12 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}+15x=12$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+15x}{3}=\frac{12}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{15}{3}x=\frac{12}{3}$$

15 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+5x=\frac{12}{3}$$

12 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+5x=4$$

Elosztjuk a(z) 5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=4+\frac{25}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{41}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$