3x^2+14x+8=0 megoldása

$$3 x ^ { 2 } + 14 x + 8 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-4$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx+8 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=14 ab=3\times 8=24$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a+b pozitív, a és b egyaránt pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 14.

$$a=2 b=12$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}+14x+8) \left(3x^{2}+2x\right)+\left(12x+8\right) alakban.

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(12x+8\right)$$

A x a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$x\left(3x+2\right)+4\left(3x+2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3x+2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3x+2\right)\left(x+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3x+2=0 és a x+4=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+14x+8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 14 értéket b-be és a(z) 8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\times 8}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 196 és -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-14±10}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±10}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -14 és 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

A törtet (\frac{-4}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-14±10}{6}). ± előjele negatív. 10 kivonása a következőből: -14.

$$x=-\frac{24}{6}$$

-24 elosztása a következővel: 6.

$$x=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-\frac{2}{3} x=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+14x+8=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8.

$$3x^{2}+14x+8-8=-8$$

Ha kivonjuk a(z) 8 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+14x=-8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=-\frac{8}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{14}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{7}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{7}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{7}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{49}{9}$$

-\frac{8}{3} és \frac{49}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{25}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{5}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{7}{3}.

$$x=-\frac{2}{3} x=-4$$