3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0 megoldása

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Megoldás a(z) x, y változóra

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Lépések helyettesítés használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6y.

$$3x+9-6y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$3x-6y=-9$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$-2x-2y=12$$

Egy két egyenletből álló egyenletrendszer helyettesítéssel történő megoldásához először kifejezzük az egyik egyenletből az egyik változót. Ezután az eredményt behelyettesítjük ezen változó helyére a másik egyenletben.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Az egyik egyenletből kifejezzük a(z) x változót úgy, hogy a(z) x változót elkülönítjük az egyenlőségjel bal oldalára.

$$3x-6y=-9$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 6y.

$$3x=6y-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Összeszorozzuk a következőket: \frac{1}{3} és 6y-9.

$$x=2y-3$$

Behelyettesítjük a(z) 2y-3 értéket x helyére a másik, -2x-2y=12 egyenletben.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Összeadjuk a következőket: -4y és -2y.

$$-6y+6=12$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 6.

$$-6y=6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -6.

$$y=-1$$

A(z) x=2y-3 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=-2-3$$

Összeadjuk a következőket: -3 és -2.

$$x=-5$$

A rendszer megoldva.

$$x=-5,y=-1$$

Lépések mátrixok használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6y.

$$3x+9-6y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$3x-6y=-9$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$-2x-2y=12$$

Az egyenleteket kanonikus alakra hozzuk, majd mátrixok használatával megoldjuk az egyenletrendszert.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Felírjuk az egyenleteket mátrixformában.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Balról megszorozzuk az egyenletet \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right) inverz mátrixával.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Ha összeszorzunk egy mátrixot az inverzével, egységmátrixot kapunk.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk az egyenlőségjel bal oldalán lévő mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Az 2\times 2-es mátrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inverz mátrixa a \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), így a mátrixegyenlet felírható mátrixszorzásként.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Összeszorozzuk a mátrixokat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Elvégezzük a számolást.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

A mátrixból megkapjuk a(z) x és y elemeket.

$$x=-5,y=-1$$

Lépések a behelyettesítő módszer használatával

Megvizsgáljuk az első egyenletet. Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 6y.

$$3x+9-6y=0$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9. Ha nullából von ki számot, annak ellentettjét kapja.

$$3x-6y=-9$$

Megvizsgáljuk a második egyenletet. Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 12. Egy adott számhoz nullát adva ugyanazt a számot kapjuk.

$$-2x-2y=12$$

A behelyettesítéses megoldáshoz az egyik változó együtthatóinak meg kell egyezniük mindkét egyenletben, így amikor az egyik egyenletet kivonjuk a másikból, a változó kiesik.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

3x és -2x egyenlővé tételéhez az első egyenlet mindkét oldalán megszorzunk minden tagot a következővel: -2, a második egyenlet mindkét oldalán pedig megszorzunk minden tagot a következővel: 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Egyszerűsítünk.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

-6x-6y=36 kivonása a következőből: -6x+12y=18: az egyenlőségjel mindkét oldalán kivonjuk egymásból az egynemű tagokat.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Összeadjuk a következőket: -6x és 6x. -6x és 6x kiesik, így egyváltozós egyenletet kapunk, amely megoldható.

$$12y+6y=18-36$$

Összeadjuk a következőket: 12y és 6y.

$$18y=18-36$$

Összeadjuk a következőket: 18 és -36.

$$18y=-18$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 18.

$$y=-1$$

A(z) -2x-2y=12 egyenletben behelyettesítjük y helyére a következőt: -1. Mivel az így kapott egyenlet csak egy változót tartalmaz, közvetlenül megoldható a(z) x változóra.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Összeszorozzuk a következőket: -2 és -1.

$$-2x+2=12$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 2.

$$-2x=10$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -2.

$$x=-5$$

A rendszer megoldva.

$$x=-5,y=-1$$