3x+5=x^2+1 megoldása

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 5 értéket. Az eredmény 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Átrendezzük a polinomot, kanonikus formára hozva azt. A tagokat sorba rendezzük a legnagyobb kitevőjűtől a legkisebb kitevőjűig.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk -x^{2}+ax+bx+4 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám értéke nagyobb, mint a negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -4.

$$-1,4 -2,2$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 3.

$$a=4 b=-1$$

Átírjuk az értéket (-x^{2}+3x+4) \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right) alakban.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Kiemeljük a(z) -x tényezőt az első, a(z) -1 tényezőt pedig a második csoportban.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-4=0 és -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 1.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Kivonjuk a(z) 1 értékből a(z) 5 értéket. Az eredmény 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) -1 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) 4 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 4 és 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±5}{-2}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

2 elosztása a következővel: -2.

$$x=-1$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±5}{-2}). ± előjele negatív. 5 kivonása a következőből: -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

-8 elosztása a következővel: -2.

$$x=4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=-1 x=4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: x^{2}.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 5.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Kivonjuk a(z) 5 értékből a(z) 1 értéket. Az eredmény -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

A(z) -1 értékkel való osztás eltünteti a(z) -1 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

3 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

-4 elosztása a következővel: -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Elosztjuk a(z) -3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

A(z) x^{2}-3x+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{3}{2}.

$$x=4 x=-1$$