3q^2-19q+16=0 megoldása

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Megoldás a(z) q változóra

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3q^{2}+aq+bq+16 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a a+b negatív, a a és a b egyaránt negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -19.

$$a=-16 b=-3$$

Átírjuk az értéket (3q^{2}-19q+16) \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right) alakban.

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Kiemeljük a(z) q tényezőt az első, a(z) -1 tényezőt pedig a második csoportban.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3q-16 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához 3q-16=0 és q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -19 értéket b-be és a(z) 16 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -19.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 361 és -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

-19 ellentettje 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (q=\frac{19±13}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 19 és 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

A törtet (\frac{32}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$q=\frac{16}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (q=\frac{19±13}{6}). ± előjele negatív. 13 kivonása a következőből: 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

6 elosztása a következővel: 6.

$$q=1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 16.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Ha kivonjuk a(z) 16 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{19}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{19}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{19}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{19}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

-\frac{16}{3} és \frac{361}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

A(z) q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{19}{6}.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$