3n^2-7n-370=0 megoldása

$$3 n ^ { 2 } - 7 n - 370 = 0$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n=-10$$

$$n = \frac{37}{3} = 12\frac{1}{3} \approx 12,333333333$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3n^{2}+an+bn-370 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-7 ab=3\left(-370\right)=-1110$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -1110.

$$1,-1110 2,-555 3,-370 5,-222 6,-185 10,-111 15,-74 30,-37$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-1110=-1109 2-555=-553 3-370=-367 5-222=-217 6-185=-179 10-111=-101 15-74=-59 30-37=-7$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -7.

$$a=-37 b=30$$

Átírjuk az értéket (3n^{2}-7n-370) \left(3n^{2}-37n\right)+\left(30n-370\right) alakban.

$$\left(3n^{2}-37n\right)+\left(30n-370\right)$$

A n a második csoportban lévő első és 10 faktort.

$$n\left(3n-37\right)+10\left(3n-37\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3n-37 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3n-37\right)\left(n+10\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3n-37=0 és a n+10=0.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3n^{2}-7n-370=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -7 értéket b-be és a(z) -370 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-370\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -370.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+4440}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 49 és 4440.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 4489.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±67}{2\times 3}$$

-7 ellentettje 7.

$$n=\frac{7±67}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$n=\frac{7±67}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{7±67}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 7 és 67.

$$n=\frac{74}{6}$$

A törtet (\frac{74}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$n=\frac{37}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{7±67}{6}). ± előjele negatív. 67 kivonása a következőből: 7.

$$n=-\frac{60}{6}$$

-60 elosztása a következővel: 6.

$$n=-10$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3n^{2}-7n-370=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 370.

$$3n^{2}-7n-370-\left(-370\right)=-\left(-370\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -370 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3n^{2}-7n=-\left(-370\right)$$

-370 kivonása a következőből: 0.

$$3n^{2}-7n=370$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3n^{2}-7n}{3}=\frac{370}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n=\frac{370}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{7}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{7}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{7}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{370}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{7}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=\frac{370}{3}+\frac{49}{36}$$

\frac{370}{3} és \frac{49}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}=\frac{4489}{36}$$

Tényezőkre n^{2}-\frac{7}{3}n+\frac{49}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n-\frac{7}{6}=\frac{67}{6} n-\frac{7}{6}=-\frac{67}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{7}{6}.

$$n=\frac{37}{3} n=-10$$