3n^2+47n-232=5 megoldása

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4,014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19,680742802$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

5 kivonása a következőből: -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 47 értéket b-be és a(z) -237 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 47.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 2209 és 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -47 és \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}). ± előjele negatív. \sqrt{5053} kivonása a következőből: -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 232.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -232 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

-232 kivonása a következőből: 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

237 elosztása a következővel: 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Elosztjuk a(z) \frac{47}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{47}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{47}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{47}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Összeadjuk a következőket: 79 és \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Tényezőkre n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{47}{6}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$