3n^2+10n=8 megoldása

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Megoldás a(z) n változóra

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 8.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3n^{2}+an+bn-8 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 10.

$$a=-2 b=12$$

Átírjuk az értéket (3n^{2}+10n-8) \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right) alakban.

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

A n a második csoportban lévő első és 4 faktort.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) 3n-2 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a 3n-2=0 és a n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3n^{2}+10n=8$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 8.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Ha kivonjuk a(z) 8 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 10 értéket b-be és a(z) -8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-10±14}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -10 és 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

A törtet (\frac{4}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$n=\frac{2}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (n=\frac{-10±14}{6}). ± előjele negatív. 14 kivonása a következőből: -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

-24 elosztása a következővel: 6.

$$n=-4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3n^{2}+10n=8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{10}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

\frac{8}{3} és \frac{25}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Tényezőkre n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{3}.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$