3b^2-8b-15=0 megoldása

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

Megoldás a(z) b változóra

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3,936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1,270083225$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -8 értéket b-be és a(z) -15 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -8.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -15.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 180.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 244.

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

-8 ellentettje 8.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 8 és 2\sqrt{61}.

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

8+2\sqrt{61} elosztása a következővel: 6.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}). ± előjele negatív. 2\sqrt{61} kivonása a következőből: 8.

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

8-2\sqrt{61} elosztása a következővel: 6.

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3b^{2}-8b-15=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 15.

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -15 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

-15 kivonása a következőből: 0.

$$3b^{2}-8b=15$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

15 elosztása a következővel: 3.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

Elosztjuk a(z) -\frac{8}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{4}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{4}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{4}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

Összeadjuk a következőket: 5 és \frac{16}{9}.

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

Tényezőkre b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{4}{3}.

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$