3a^2-72a+540=300 megoldása

$$3 a ^ { 2 } - 72 a + 540 = 300$$

Megoldás a(z) a változóra

$$a=4$$

$$a=20$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 300.

$$3a^{2}-72a+540-300=0$$

Kivonjuk a(z) 300 értékből a(z) 540 értéket. Az eredmény 240.

$$3a^{2}-72a+240=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$a^{2}-24a+80=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk a^{2}+aa+ba+80 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-24 ab=1\times 80=80$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 80.

$$-1,-80 -2,-40 -4,-20 -5,-16 -8,-10$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-80=-81 -2-40=-42 -4-20=-24 -5-16=-21 -8-10=-18$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -24.

$$a=-20 b=-4$$

Átírjuk az értéket (a^{2}-24a+80) \left(a^{2}-20a\right)+\left(-4a+80\right) alakban.

$$\left(a^{2}-20a\right)+\left(-4a+80\right)$$

A a a második csoportban lévő első és -4 faktort.

$$a\left(a-20\right)-4\left(a-20\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) a-20 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(a-20\right)\left(a-4\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a a-20=0 és a a-4=0.

$$a=20 a=4$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3a^{2}-72a+540=300$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 300.

$$3a^{2}-72a+540-300=300-300$$

Ha kivonjuk a(z) 300 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3a^{2}-72a+540-300=0$$

300 kivonása a következőből: 540.

$$3a^{2}-72a+240=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -72 értéket b-be és a(z) 240 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 3\times 240}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -72.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 3\times 240}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-12\times 240}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 240.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-2880}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 5184 és -2880.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{2304}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 2304.

$$a=\frac{-\left(-72\right)±48}{2\times 3}$$

-72 ellentettje 72.

$$a=\frac{72±48}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$a=\frac{72±48}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (a=\frac{72±48}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 72 és 48.

$$a=\frac{120}{6}$$

120 elosztása a következővel: 6.

$$a=20$$

Megoldjuk az egyenletet (a=\frac{72±48}{6}). ± előjele negatív. 48 kivonása a következőből: 72.

$$a=\frac{24}{6}$$

24 elosztása a következővel: 6.

$$a=4$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$a=20 a=4$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3a^{2}-72a+540=300$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 540.

$$3a^{2}-72a+540-540=300-540$$

Ha kivonjuk a(z) 540 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3a^{2}-72a=300-540$$

540 kivonása a következőből: 300.

$$3a^{2}-72a=-240$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3a^{2}-72a}{3}=-\frac{240}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$a^{2}+\left(-\frac{72}{3}\right)a=-\frac{240}{3}$$

-72 elosztása a következővel: 3.

$$a^{2}-24a=-\frac{240}{3}$$

-240 elosztása a következővel: 3.

$$a^{2}-24a=-80$$

Elosztjuk a(z) -24 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -12. Ezután hozzáadjuk -12 négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$a^{2}-24a+\left(-12\right)^{2}=-80+\left(-12\right)^{2}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -12.

$$a^{2}-24a+144=-80+144$$

Összeadjuk a következőket: -80 és 144.

$$a^{2}-24a+144=64$$

Tényezőkre a^{2}-24a+144. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(a-12\right)^{2}=64$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(a-12\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Egyszerűsítünk.

$$a-12=8 a-12=-8$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 12.

$$a=20 a=4$$