3a^2+5a-7=0 megoldása

$$3 a ^ { 2 } + 5 a - 7 = 0$$

Megoldás a(z) a változóra

$$a=\frac{\sqrt{109}-5}{6}\approx 0,906717751$$

$$a=\frac{-\sqrt{109}-5}{6}\approx -2,573384418$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3a^{2}+5a-7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) -7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$a=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$a=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -7.

$$a=\frac{-5±\sqrt{25+84}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 84.

$$a=\frac{-5±\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$a=\frac{-5±\sqrt{109}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (a=\frac{-5±\sqrt{109}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és \sqrt{109}.

$$a=\frac{\sqrt{109}-5}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (a=\frac{-5±\sqrt{109}}{6}). ± előjele negatív. \sqrt{109} kivonása a következőből: -5.

$$a=\frac{-\sqrt{109}-5}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$a=\frac{\sqrt{109}-5}{6} a=\frac{-\sqrt{109}-5}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3a^{2}+5a-7=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 7.

$$3a^{2}+5a-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -7 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3a^{2}+5a=-\left(-7\right)$$

-7 kivonása a következőből: 0.

$$3a^{2}+5a=7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3a^{2}+5a}{3}=\frac{7}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$a^{2}+\frac{5}{3}a=\frac{7}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$a^{2}+\frac{5}{3}a+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$a^{2}+\frac{5}{3}a+\frac{25}{36}=\frac{7}{3}+\frac{25}{36}$$

\frac{7}{3} és \frac{25}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$a^{2}+\frac{5}{3}a+\frac{25}{36}=\frac{109}{36}$$

Tényezőkre a^{2}+\frac{5}{3}a+\frac{25}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(a+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{109}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(a+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$a+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{109}}{6} a+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{109}}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{6}.

$$a=\frac{\sqrt{109}-5}{6} a=\frac{-\sqrt{109}-5}{6}$$