3(x-2)(2x+1)>0 megoldása

$$3 ( x - 2 ) ( 2 x + 1 ) > 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(2,\infty\right)$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 3 és x-2.

$$\left(3x-6\right)\left(2x+1\right)>0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (3x-6 és 2x+1), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

$$6x^{2}-9x-6>0$$

Az egyenlőtlenség megoldásához szorzattá alakítjuk a bal oldalt. A másodfokú polinomiális kifejezés ezzel a transzformációval faktorálható: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). A másodfokú egyenlet (ax^{2}+bx+c=0) két megoldása x_{1} és x_{2}.

$$6x^{2}-9x-6=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 6 értéket a-ba, a(z) -9 értéket b-be és a(z) -6 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{9±15}{12}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{9±15}{12}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$

Átírjuk az egyenlőtlenséget a kapott megoldások felhasználásával.

$$6\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)>0$$

A szorzat csak akkor pozitív, ha a két érték (x-2 és x+\frac{1}{2}) egyaránt negatív vagy pozitív. Tegyük fel, hogy x-2 és x+\frac{1}{2} eredménye egyaránt negatív.

$$x-2<0 x+\frac{1}{2}<0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x<-\frac{1}{2}.

$$x<-\frac{1}{2}$$

Tegyük fel, hogy x-2 és x+\frac{1}{2} eredménye egyaránt pozitív.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-2>0$$

A mindkét egyenlőtlenséget kielégítő megoldás x>2.

$$x>2$$

Az utolsó megoldás a kapott megoldások uniója.

$$x<-\frac{1}{2}\text{; }x>2$$