3(-16k/4k^2+1)^2=32/4k^2+1 megoldása

$$3 ( \frac { - 16 k } { 4 k ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 32 } { 4 k ^ { 2 } + 1 }$$

Megoldás a(z) k változóra

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0,223606798$$

$$k=-\frac{\sqrt{5}}{10}\approx -0,223606798$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: 4k^{2}+1.

$$3\times \left(\frac{-16k}{4k^{2}+1}\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

A hányados (\frac{-16k}{4k^{2}+1}) hatványozásához emelje hatványra mind a számlálót, mind pedig a nevezőt, majd végezze el az osztást.

$$3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Kifejezzük a hányadost (3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}) egyetlen törtként.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Kifejezzük a hányadost (\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)) egyetlen törtként.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Kifejtjük a következőt: \left(-16k\right)^{2}.

$$\frac{3\left(-16\right)^{2}k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Kiszámoljuk a(z) -16 érték 2. hatványát. Az eredmény 256.

$$\frac{3\times 256k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Összeszorozzuk a következőket: 3 és 256. Az eredmény 768.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Binomiális tétel (\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}) használatával kibontjuk a képletet (\left(4k^{2}+1\right)^{2}).

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16\left(k^{2}\right)^{2}+8k^{2}+1}=32$$

Hatvány hatványra emeléséhez összeszorozzuk a kitevőket. 2 és 2 szorzata 4.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}=32$$

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 32.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a következőket: 768k^{2} és 4k^{2}+1.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

Szorzattá alakítjuk a(z) 16k^{4}+8k^{2}+1 kifejezést.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-32=0$$

Kifejezések összeadásához vagy kivonásához bontsa ki őket, hogy ugyanaz legyen a nevezőjük. Összeszorozzuk a következőket: 32 és \frac{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Mivel \frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} és \frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} nevezője ugyanaz, a kivonásukhoz kivonjuk egymásból a számlálójukat.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Elvégezzük a képletben (3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}) szereplő szorzásokat.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Összevonjuk a kifejezésben (3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32) szereplő egynemű tagokat.

$$\frac{2560k^{4}+512k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: \left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$2560k^{4}+512k^{2}-32=0$$

t behelyettesítése k^{2} helyére.

$$2560t^{2}+512t-32=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 2560 értéket a-ba, a(z) 512 értéket b-be és a(z) -32 értéket c-be a megoldóképletben.

$$t=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 2560\left(-32\right)}}{2\times 2560}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$t=\frac{-512±768}{5120}$$

Megoldjuk az egyenletet (t=\frac{-512±768}{5120}). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$t=\frac{1}{20} t=-\frac{1}{4}$$

Mivel k=t^{2}, a megoldásokat a(z) k=±\sqrt{t} kiszámításával kapjuk meg a pozitív t paraméterre.

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10} k=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$