3z^2+9z+6=0 megoldása

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Megoldás a(z) z változóra

$$z=-2$$

$$z=-1$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk z^{2}+az+bz+2 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Mivel ab pozitív, a és a b ugyanaz a jele. Mivel a+b pozitív, a és a b pozitívak. Az egyetlen ilyen pár a rendszermegoldás.

$$a=1 b=2$$

Átírjuk az értéket (z^{2}+3z+2) \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right) alakban.

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Kiemeljük a(z) z tényezőt az első, a(z) 2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) z+1 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához z+1=0 és z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 9 értéket b-be és a(z) 6 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 9.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 81 és -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-9±3}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -9 és 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

-6 elosztása a következővel: 6.

$$z=-1$$

Megoldjuk az egyenletet (z=\frac{-9±3}{6}). ± előjele negatív. 3 kivonása a következőből: -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

-12 elosztása a következővel: 6.

$$z=-2$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$z=-1 z=-2$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 6.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Ha kivonjuk a(z) 6 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

9 elosztása a következővel: 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

-6 elosztása a következővel: 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Elosztjuk a(z) 3 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{3}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{3}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{3}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Összeadjuk a következőket: -2 és \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

A(z) z^{2}+3z+\frac{9}{4} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{3}{2}.

$$z=-1 z=-2$$