3x^4-14x^3-6x^2+6x-5=0 megoldása

$$3 { x }^{ 4 } -14 { x }^{ 3 } -6 { x }^{ 2 } +6x-5=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}\approx 0,333333333-0,471404521i$$

$$x=5$$

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}\approx 0,333333333+0,471404521i$$

$$x=-1$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -5 állandónak, és q osztója a(z) 3 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 3x^{4}-14x^{3}-6x^{2}+6x-5 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény 3x^{3}-17x^{2}+11x-5. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$3x^{3}-17x^{2}+11x-5=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -5 állandónak, és q osztója a(z) 3 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=5$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 3x^{3}-17x^{2}+11x-5 értéket a(z) x-5 értékkel. Az eredmény 3x^{2}-2x+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$3x^{2}-2x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (3x^{2}-2x+1=0). ± előjele pozitív, ± előjele pedig negatív.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-1 x=5 x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=5$$

A megoldás lépései

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -5 állandónak, és q osztója a(z) 3 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=-1$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 3x^{4}-14x^{3}-6x^{2}+6x-5 értéket a(z) x+1 értékkel. Az eredmény 3x^{3}-17x^{2}+11x-5. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$3x^{3}-17x^{2}+11x-5=0$$

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke \frac{p}{q} formájú, ahol p osztója a(z) -5 állandónak, és q osztója a(z) 3 főegyütthatónak. Az összes lehetséges \frac{p}{q} listázása.

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

$$x=5$$

A faktorizációs tétel alapján a(z) x-k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 3x^{3}-17x^{2}+11x-5 értéket a(z) x-5 értékkel. Az eredmény 3x^{2}-2x+1. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

$$3x^{2}-2x+1=0$$

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) 1 értéket c-be a megoldóképletben.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

Elvégezzük a számításokat.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{6}$$

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

$$x\in \emptyset$$

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

$$x=-1 x=5$$