3x^2-5x-372=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10,333333333$$

$$x=12$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-372 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -5.

$$a=-36 b=31$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}-5x-372) \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Kiemeljük a(z) 3x tényezőt az első, a(z) 31 tényezőt pedig a második csoportban.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-12 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-12=0 és 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -372 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±67}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

72 elosztása a következővel: 6.

$$x=12$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±67}{6}). ± előjele negatív. 67 kivonása a következőből: 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

A törtet (\frac{-62}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{31}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 372.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -372 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

-372 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

372 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Összeadjuk a következőket: 124 és \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

A(z) x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{6}.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$