3x^2-5x-250=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8,333333333$$

$$x=10$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-250 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -5.

$$a=-30 b=25$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}-5x-250) \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 25 faktort.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-10 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-10=0 és a 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -5 értéket b-be és a(z) -250 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 3025.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

-5 ellentettje 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±55}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 5 és 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

60 elosztása a következővel: 6.

$$x=10$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{5±55}{6}). ± előjele negatív. 55 kivonása a következőből: 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

A törtet (\frac{-50}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{25}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 250.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -250 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

-250 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{5}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

\frac{250}{3} és \frac{25}{36} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{6}.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$