3x^2-4x-9=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -4 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 16 és 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

-4 ellentettje 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 4 és 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

4+2\sqrt{31} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}). ± előjele negatív. 2\sqrt{31} kivonása a következőből: 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

4-2\sqrt{31} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

-9 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

9 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Elosztjuk a(z) -\frac{4}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{2}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{2}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{2}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Összeadjuk a következőket: 3 és \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{2}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$