3x^2-31x-60=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-60 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -31.

$$a=-36 b=5$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}-31x-60) \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 5 faktort.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-12 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-12=0 és a 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -31 értéket b-be és a(z) -60 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 961 és 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 ellentettje 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{31±41}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 31 és 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

72 elosztása a következővel: 6.

$$x=12$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{31±41}{6}). ± előjele negatív. 41 kivonása a következőből: 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

A törtet (\frac{-10}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 60.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -60 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

-60 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Elosztjuk a(z) -\frac{31}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{31}{6}. Ezután hozzáadjuk -\frac{31}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{31}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Összeadjuk a következőket: 20 és \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{31}{6}.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$