3x^2-2x-9=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -2 értéket b-be és a(z) -9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

-2 ellentettje 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 2 és 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

2+4\sqrt{7} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}). ± előjele negatív. 4\sqrt{7} kivonása a következőből: 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

2-4\sqrt{7} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 9.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

-9 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

9 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Elosztjuk a(z) -\frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Összeadjuk a következőket: 3 és \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

A(z) x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$