3x^2-15x=18 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } -15x=18$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-1$$

$$x=6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 18.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$x^{2}-5x-6=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk x^{2}+ax+bx-6 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b negatív, a negatív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a pozitív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -6.

$$1,-6 2,-3$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -5.

$$a=-6 b=1$$

Átírjuk az értéket (x^{2}-5x-6) \left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right) alakban.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(x-6\right)$$

Emelje ki a(z) x elemet a(z) x^{2}-6x kifejezésből.

$$x\left(x-6\right)+x-6$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-6\right)\left(x+1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-6=0 és a x+1=0.

$$x=6 x=-1$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-15x=18$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 18.

$$3x^{2}-15x-18=18-18$$

Ha kivonjuk a(z) 18 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-15x-18=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -15 értéket b-be és a(z) -18 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -18.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+216}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 225 és 216.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 441.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±21}{2\times 3}$$

-15 ellentettje 15.

$$x=\frac{15±21}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{15±21}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±21}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 15 és 21.

$$x=\frac{36}{6}$$

36 elosztása a következővel: 6.

$$x=6$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{15±21}{6}). ± előjele negatív. 21 kivonása a következőből: 15.

$$x=-\frac{6}{6}$$

-6 elosztása a következővel: 6.

$$x=-1$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=6 x=-1$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-15x=18$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=\frac{18}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=\frac{18}{3}$$

-15 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}-5x=\frac{18}{3}$$

18 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}-5x=6$$

Elosztjuk a(z) -5 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{2}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 6 és \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Tényezőkre x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{2}.

$$x=6 x=-1$$