3x^2-10x-8=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-8 alakúvá. a és b megkereséséhez állítson be egy rendszert a megoldáshoz.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Mivel a ab negatív, a és b ellentétes jelei vannak. Mivel a a+b negatív, a negatív szám értéke nagyobb, mint a pozitív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -10.

$$a=-12 b=2$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}-10x-8) \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Kiemeljük a(z) 3x tényezőt az első, a(z) 2 tényezőt pedig a második csoportban.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-4 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Az egyenlet megoldásainak megoldásához x-4=0 és 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -10 értéket b-be és a(z) -8 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 100 és 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

-10 ellentettje 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±14}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 10 és 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

24 elosztása a következővel: 6.

$$x=4$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{10±14}{6}). ± előjele negatív. 14 kivonása a következőből: 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

A törtet (\frac{-4}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 8.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -8 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

-8 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{10}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{5}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{5}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{5}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

\frac{8}{3} és \frac{25}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

A(z) x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{5}{3}.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$