3x^2=22x-7 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } =22x-7$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 22x.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx+7 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Mivel ab pozitív, a és b azonos aláírására. Mivel a a+b negatív, a és b negatív. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

A megoldás az a pár, amelynek összege -22.

$$a=-21 b=-1$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}-22x+7) \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és -1 faktort.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-7 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-7=0 és a 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 22x.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Bővítsük az egyenlet mindkét oldalát ezzel: 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) -22 értéket b-be és a(z) 7 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 484 és -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

-22 ellentettje 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{22±20}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: 22 és 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

42 elosztása a következővel: 6.

$$x=7$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{22±20}{6}). ± előjele negatív. 20 kivonása a következőből: 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

A törtet (\frac{2}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=\frac{1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 22x.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Elosztjuk a(z) -\frac{22}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye -\frac{11}{3}. Ezután hozzáadjuk -\frac{11}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

A(z) -\frac{11}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

-\frac{7}{3} és \frac{121}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Tényezőkre x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: \frac{11}{3}.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$