3x^2+8x-3=65 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } +8x-3=65$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{2 \sqrt{55} - 4}{3} \approx 3,610798991$$

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}\approx -6,277465658$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 65.

$$3x^{2}+8x-3-65=65-65$$

Ha kivonjuk a(z) 65 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+8x-3-65=0$$

65 kivonása a következőből: -3.

$$3x^{2}+8x-68=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 8 értéket b-be és a(z) -68 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -68.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+816}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 64 és 816.

$$x=\frac{-8±\sqrt{880}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 880.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -8 és 4\sqrt{55}.

$$x=\frac{4\sqrt{55}-8}{6}$$

-8+4\sqrt{55} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}). ± előjele negatív. 4\sqrt{55} kivonása a következőből: -8.

$$x=\frac{-4\sqrt{55}-8}{6}$$

-8-4\sqrt{55} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$3x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=65-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+8x=65-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 65.

$$3x^{2}+8x=68$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{68}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{68}{3}$$

Elosztjuk a(z) \frac{8}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{4}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{4}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{68}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{4}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{68}{3}+\frac{16}{9}$$

\frac{68}{3} és \frac{16}{9} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{220}{9}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{220}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{220}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{55}}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2\sqrt{55}}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{4}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$