3x^2+5x=138 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7,666666667$$

$$x=6$$

A csoportosítással végzett tényezőkre bontás lépései

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 138.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Az egyenlet megoldásához csoportosítással tényezőkre bontjuk az egyenlőségjeltől balra lévő kifejezést úgy, hogy először átírjuk 3x^{2}+ax+bx-138 alakúvá. A a és b megkereséséhez állítson be egy rendszer-egy rendszert.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Mivel a ab negatív, a és b rendelkezik a megfelelő előjel között. Mivel a a+b pozitív, a pozitív szám nagyobb abszolút értéket tartalmaz, mint a negatív érték. Listát készítünk minden olyan egész párról, amelynek szorzata -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Kiszámítjuk az egyes párok összegét.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

A megoldás az a pár, amelynek összege 5.

$$a=-18 b=23$$

Átírjuk az értéket (3x^{2}+5x-138) \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right) alakban.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

A 3x a második csoportban lévő első és 23 faktort.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

A disztributivitási tulajdonság használatával emelje ki a(z) x-6 általános kifejezést a zárójelből.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Az egyenletmegoldások kereséséhez, a x-6=0 és a 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+5x=138$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 138.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Ha kivonjuk a(z) 138 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) -138 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±41}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

36 elosztása a következővel: 6.

$$x=6$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±41}{6}). ± előjele negatív. 41 kivonása a következőből: -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

A törtet (\frac{-46}{6}) leegyszerűsítjük 2 kivonásával és kiejtésével.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+5x=138$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

138 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Összeadjuk a következőket: 46 és \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Tényezőkre x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{6}.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$