3x^2+5x+9=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.833333333+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.518405597i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 5 értéket b-be és a(z) 9 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 25 és -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -83.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -5 és i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}). ± előjele negatív. i\sqrt{83} kivonása a következőből: -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 9.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

Ha kivonjuk a(z) 9 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

-9 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Elosztjuk a(z) \frac{5}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{5}{6}. Ezután hozzáadjuk \frac{5}{6} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

A(z) \frac{5}{6} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Összeadjuk a következőket: -3 és \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

A(z) x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{5}{6}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$