3x^2+45x-354=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } +45x-354=0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x = \frac{\sqrt{697} - 15}{2} \approx 5,700378782$$

$$x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}\approx -20,700378782$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+45x-354=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 45 értéket b-be és a(z) -354 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 3\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 45.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 3\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-12\left(-354\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -354.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4248}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 2025 és 4248.

$$x=\frac{-45±\sqrt{6273}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 6273.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -45 és 3\sqrt{697}.

$$x=\frac{3\sqrt{697}-45}{6}$$

-45+3\sqrt{697} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-45±3\sqrt{697}}{6}). ± előjele negatív. 3\sqrt{697} kivonása a következőből: -45.

$$x=\frac{-3\sqrt{697}-45}{6}$$

-45-3\sqrt{697} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2} x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+45x-354=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 354.

$$3x^{2}+45x-354-\left(-354\right)=-\left(-354\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -354 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+45x=-\left(-354\right)$$

-354 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}+45x=354$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+45x}{3}=\frac{354}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{45}{3}x=\frac{354}{3}$$

45 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+15x=\frac{354}{3}$$

354 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+15x=118$$

Elosztjuk a(z) 15 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{15}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{15}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=118+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{15}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=118+\frac{225}{4}$$

Összeadjuk a következőket: 118 és \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{697}{4}$$

Tényezőkre x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{697}{4}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{697}{4}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{697}}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{697}}{2}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{15}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{697}-15}{2} x=\frac{-\sqrt{697}-15}{2}$$