3x^2+3x+5=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

Megoldás a(z) x változóra (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,190238071i$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 3 értéket b-be és a(z) 5 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 9 és -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -3 és i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

-3+i\sqrt{51} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}). ± előjele negatív. i\sqrt{51} kivonása a következőből: -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

-3-i\sqrt{51} elosztása a következővel: 6.

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: 5.

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

Ha kivonjuk a(z) 5 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+3x=-5$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

3 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

Elosztjuk a(z) 1 értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{2}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{2} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{2} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

-\frac{5}{3} és \frac{1}{4} összeadásához megkeressük a közös nevezőt, majd összeadjuk a számlálókat. Ezután ha lehetséges, egyszerűsítjük a törtet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

Tényezőkre x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ha x^{2}+bx+c egy tökéletes négyzet, akkor mindig \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} lehet szorzattá tenni.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$