3x^2+2x-3=0 megoldása

$$3 { x }^{ 2 } +2x-3 = 0$$

Megoldás a(z) x változóra

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3}\approx 0,72075922$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}\approx -1,387425887$$

Lépések a másodfokú egyenlet megoldóképletének használatával

Minden ax^{2}+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A megoldóképlet két megoldást ad, az egyik az, amikor a ± összeadás, a másik amikor kivonás.

$$3x^{2}+2x-3=0$$

Ez az egyenlet kanonikus alakban van: ax^{2}+bx+c=0. Behelyettesítjük a(z) 3 értéket a-ba, a(z) 2 értéket b-be és a(z) -3 értéket c-be a megoldóképletben: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Négyzetre emeljük a következőt: 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -4 és 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: -12 és -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\times 3}$$

Összeadjuk a következőket: 4 és 36.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\times 3}$$

Négyzetgyököt vonunk a következőből: 40.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Összeszorozzuk a következőket: 2 és 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}). ± előjele pozitív. Összeadjuk a következőket: -2 és 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{6}$$

-2+2\sqrt{10} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3}$$

Megoldjuk az egyenletet (x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{6}). ± előjele negatív. 2\sqrt{10} kivonása a következőből: -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{6}$$

-2-2\sqrt{10} elosztása a következővel: 6.

$$x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

Megoldottuk az egyenletet.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$

A teljes négyzetté alakítás lépései

Az ehhez hasonló másodfokú egyenletek teljes négyzetté alakítással oldhatók meg. A teljes négyzetté alakításhoz az egyenletet először x^{2}+bx=c alakra kell hozni.

$$3x^{2}+2x-3=0$$

Hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához a következőt: 3.

$$3x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Ha kivonjuk a(z) -3 értéket önmagából, az eredmény 0 lesz.

$$3x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

-3 kivonása a következőből: 0.

$$3x^{2}+2x=3$$

Mindkét oldalt elosztjuk ennyivel: 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{3}{3}$$

A(z) 3 értékkel való osztás eltünteti a(z) 3 értékkel való szorzást.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{3}{3}$$

3 elosztása a következővel: 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=1$$

Elosztjuk a(z) \frac{2}{3} értéket, az x-es tag együtthatóját 2-vel; ennek eredménye \frac{1}{3}. Ezután hozzáadjuk \frac{1}{3} négyzetét az egyenlet mindkét oldalához. Ezzel a lépéssel teljes négyzetté alakítottuk az egyenlet bal oldalát.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

A(z) \frac{1}{3} négyzetre emeléséhez a tört számlálóját és nevezőjét is négyzetre emeljük.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

Összeadjuk a következőket: 1 és \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

A(z) x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} kifejezést szorzattá alakítjuk. Általánosságban, ha x^{2}+bx+c teljes négyzet, akkor mindig szorzattá alakítható az \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} formában.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Az egyenlet mindkét oldalából négyzetgyököt vonunk.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Egyszerűsítünk.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Kivonjuk az egyenlet mindkét oldalából a következőt: \frac{1}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-\sqrt{10}-1}{3}$$